准确找到最小特征值

我想找到矩阵的最小（绝对值）非零特征值。我可以使用numpy使用浮点运算来做到这一点，但准确找到最小特征值

有没有办法得到确切的答案？
你必须为此使用sympy还是有其他方法？

矩阵将会很小（比如小于20乘以20）整数值。当我说出确切的答案时，我的意思是与the answer of John Habert中的那些例子类似。

2014-02-08 Anush

你能确定你的意思吗？我们在谈论什么类型的矩阵？什么尺寸？ –

我不认为你可以在所有情况下得到确切的答案，即使对于具有整数元素的矩阵。 – user2357112

特征值是algebraic numbers，即一些多项式的根。该多项式的程度将是矩阵维数。对于多项式达到4级，原则上能够将这些数字写成嵌套根，但除此之外，通常无法准确表示特征值。即使在情况下，这将是可能的，你当然不希望看到的精确值，这里是一个傻傻的看着小矩阵的例子：

来源

2014-02-08 12:34:46 pentadecagon

从您的文章，目前尚不清楚是否矩阵将是Hermitian。我不知道一般情况下的方法。

但是！如果矩阵是Hermitian（对称正定），则可以避免计算所有的特征值，如果你只需要最小的那个（这将是正的）。您可以使用反向迭代。 http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_iteration

你可以用mu = 0开始算法;然后使用瑞利商 http://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh_quotient_iteration这通常会给你非常快的收敛。该方法涉及方程的线性系统的解（或者，稍微等价地计算逆矩阵），但是如果矩阵又是厄米特矩阵，则可以为其生成Cholesky分解，然后使用得到的三角矩阵解决系统问题。

在某些情况下，该方法会收敛到不正确的特征值（比如，最小的旁边）。另外，有趣的观察结果是矩阵A的最大特征值等于该矩阵的范数（其元素的平方和的平方根）。 A的SMALLEST特征值等于1除以A的INVERSE的范数。因此，如果你的矩阵不是很大并且它的逆矩阵存在，那么你可以负反转它，然后执行它，然后计算1 /范数（INV（A））。这个值将是A的最小特征值。

来源

2014-10-29 14:28:46 Lelik

我不是数值分析师，但它看起来像逆迭代给出了特征值的数值近似值，而不是OP正在寻找的确切特征值。我不认为最后一段是真的：[[1 0] [0 2]]的规范是√5。也许规范限制了特征值？ – Teepeemm

是的，你是对的，它会给出一个近似值，也许不是OP可能想要的。 Matlab为我的矩阵提供了一个标准= 2。也许是因为它计算了L2规范。你可以参考sqrt（5）的Frobenius规范。当我说最大的特征值等于“矩阵元素平方和的平方根”时，我是不正确的。其实有不同的规范： http://mathworld.wolfram.com/MatrixNorm.html http://mathworld.wolfram.com/FrobeniusNorm.html 感谢您指出这种模糊性。 – Lelik

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