减去MATLAB两个相等的浮点数字不等于0

Question

假设我们要计算（A + B）以两种不同的方式，即

1. （A + B）*（ A + b）

2. 一个 + 2 AB + b

现在，假设a = 1.4和b = -2.7。如果我们在公式插上这两个数字与format long我们得到在这两种情况下1.690000000000001，也就是说，如果我运行下面的脚本：

a = 1.4; 
b = -2.7; 

format long 

r = (a + b) * (a + b) 

r2 = a^2 + 2*a*b + b^2 

abs_diff = abs(r - r2) 

我获得

r = 1.690000000000001 

r2 = 1.690000000000001 

abs_diff = 6.661338147750939e-16 

这是怎么回事？我可以预览r或r2的不同结果（因为Matlab将执行不同的浮点运算），但不能用于它们差异的绝对值。

我也注意到的r和r2相对误差是不同的，也就是说，如果我做

rel_err1 = abs(1.69 - r)/1.69 
rel_err2 = abs(1.69 - r2)/1.69 

我获得

rel_err1 = 3.941620205769786e-16 

rel_err2 = 7.883240411539573e-16 

这只让我觉得，r实际上不是同样的r2。有没有办法让他们完全看到他们，如果他们真的不同？如果不是，发生了什么？

此外，两个相对误差不小于eps/2，这是否意味着溢出发生了？如果是，在哪里？

---

注意：这是一个特殊情况。我明白我们正在处理浮点数和舍入错误。但我想通过阅读这个例子来更好地理解它们。

Answer 1

Floating point arithmetic is not associative。

虽然数学上这两者是相等的，但它们不在浮点数学中。

r = (a + b) * (a + b) 

r2 = a^2 + 2*a*b + b^2 

订单操作在浮点数学中执行是非常相关的。这就是为什么当你进行浮点运算时，你需要非常小心你的乘法/除法的顺序，特别是当处理非常大的数字和非常小的数字时。

Answer 2

不要依靠format long的输出得出两个数字相等的结论......

>> num2hex([r1 r2 r3]) 
ans = 
3ffb0a3d70a3d70d 
3ffb0a3d70a3d710 
3ffb0a3d70a3d70d 

或printf家庭的功能：

>> fprintf('%bx\n', r1, r2, r3) 
3ffb0a3d70a3d70d 
3ffb0a3d70a3d710 
3ffb0a3d70a3d70d 

甚至：

a = 1.4; 
b = -2.7 
r1 = (a + b) * (a + b); 
r2 = a^2 + 2*a*b + b^2; 
r3 = (a+b)^2; 

相反，你可以通过检查其十六进制表示

>> format hex 
>> disp([r1; r2; r3]) 
    3ffb0a3d70a3d70d 
    3ffb0a3d70a3d710 
    3ffb0a3d70a3d70d