加法和减法后的浮点和小于等于

Question

经过一系列浮点算术运算后，是否存在小于等于浮点数的等值比较的“最佳做法”？

我在R中有下面的例子，虽然这个问题不仅适用于R，而且适用于任何使用浮点的语言。我有一个双重x = 1，我应用了一系列的加法和减法。最后x应该只是一个，但不是由于浮点运算（来自我收集的）。这里是例子

> stop_times <- seq(0.25, 2, by = .25) 
> expr <- expression(replicate(100,{ 
+ x <- 1 
+ 
+ for(i in 1:10){ 
+  tmp <- rexp(1, 1) 
+  n <- sample.int(1e2, 1) 
+  delta <- tmp/n 
+  for(j in 1:n) 
+  x <- x - delta 
+  x <- x + tmp 
+ } 
+ 
+ # "correct" answer is 4 
+ which.max(x <= stop_times) 
+ })) 
> eval(expr) 
    [1] 5 5 5 4 4 4 5 5 5 4 5 4 4 4 5 5 4 4 5 4 5 4 5 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 4 5 4 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 
[64] 5 4 4 4 5 5 5 4 4 4 5 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 4 4 4 5 5 5 5 5 4 4 4 5 5 4 

A（幼稚？）解决方案是一些任意小的正数增加了不平等的右侧如下

some_arbitrary_factor <- 100 
stop_times <- seq(0.25, 2, by = .25) + 
    some_arbitrary_factor * .Machine$double.eps 
eval(expr) 
    [1] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 
[64] 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 

这是“最佳实践”和如果有的话，有如何选择some_arbitrary_factor的指导方针？

我的具体问题是，我有时间段$（t_0，t_1]，（t_1，t_2），\ dots $，并且需要查找给定观察值$ x $在哪个周期内。$ x $在进行了一系列浮点算术运算后，可能已经被设置为一个边界$ t_i $，如果执行了精确操作，结果应该是$ t_i $

Answer 1

不，没有最佳实践。不可能，因为几乎所有的浮点计算都会引入一些舍入误差，并且对于不同的应用程序，误差的后果是不同的。

通常，软件将执行一些计算，但是，由于舍入误差（或其他问题），会产生近似值x'。当比较浮点数，你要问一些问题有关X，如“是X < 1？”或“X = 3.1415926 ......？”所以，你要解决的问题是“如何我用X“来回答这个问题有关X？”

没有通用的解决方案这一点。即使小于1，某些错误可能会产生大于1的“x”。即使x大于1，某些错误可能产生小于1的'。任何具体实例取决于在计算x'时生成的错误信息以及要回答的具体问题。

有时候一个全面的分析可以证明某些关于x的问题可以用x'来回答。例如，在某些情况下，我们可以让我们知道手艺计算，如果X '< 1，然后X < 1.或许，如果X' < 0.99875，然后X < 1。假设我们分析了我们用于计算的计算结果x'，并且可以显示最终的误差小于.00125。然后，如果X '< 0.99875，那么我们就知道X < 1，并且，如果X'> 1.00125，然后X> 1。但是，如果0.99875 < X“< 1.00125，那么我们不知道是否x> 1或x < 1.我们在那种情况下做什么？对于你的应用程序来说，更好的方式是采取x < 1或者路径x> 1的路径吗？答案是针对每个应用程序的，并且没有一般的最佳实践。

我会补充说明，发生的舍入误差的数量在应用程序和应用程序之间差别很大。这是因为四舍五入错误可以以各种方式混合。一些具有少量浮点运算的应用程序将会以小错误达到结果。一些具有许多浮点运算的应用程序也会以适度的错误达到结果。但某些行为会导致计算错位并产生灾难性错误。所以处理舍入错误是每个程序的自定义问题。