逼近反三角函数

Question

我要实现环境ASIN，ACOS和ATAN这里我只以下的数学工具：

• 正弦
• 余弦
• 基本定点运算（浮点数不可用）

我也已经有相当不错的平方根功能。

我可以使用它们来实现合理高效的反三角函数吗？

我不需要太高的精度（反正浮点数的精度非常有限），基本的近似值可以。

我已经半决定去查表，但我想知道是否有一些整洁的选项（这不需要几百行代码来实现基本的数学）。

编辑：

要澄清一些事情：我需要以每秒35帧运行函数每秒数百帧时间。

Answer 1

你需要一个大的精度arcsin(x)功能？如果否，则可以在N个节点中计算arcsin，并将值保存在内存中。我建议使用行aproximation。如果x = A*x_(N) + (1-A)*x_(N+1)则x = A*arcsin(x_(N)) + (1-A)*arcsin(x_(N+1))其中arcsin(x_(N))是已知的。

Answer 2

您可能想要使用近似值：使用infinite series，直到解决方案足够接近您为止。

例如：
arcsin(z) = Sigma((2n!)/((2^2n)*(n!)^2)*((z^(2n+1))/(2n+1)))其中n在[0，无穷大）

Answer 3

也许一些种像牛顿拉普逊智能蛮力。

所以解决ASIN（）你最速下降下去了罪（）

Answer 4

http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Expression_as_definite_integrals

你能做到这一点的整合数字与你的平方根函数，用无穷级数逼近：

Answer 5

在固定点e环境（S15.16）我成功地使用了CORDIC算法（参见维基百科的一般描述）来计算atan2（y，x），然后使用知名的函数标识从asin（）和acos根：

asin(x) = atan2 (x, sqrt ((1.0 + x) * (1.0 - x))) 
acos(x) = atan2 (sqrt ((1.0 + x) * (1.0 - x)), x) 

事实证明，找到一个有用的关于atan2（）的迭代的CORDIC迭代比我想象的更难。下面的网站似乎包含足够详细的说明，同时还讨论了两种替代方法，多项式逼近与查找表：

http://ch.mathworks.com/examples/matlab-fixed-point-designer/615-calculate-fixed-point-arctangent

Answer 6

用多项式逼近。最小二乘拟合最容易（Microsoft Excel有它）和切比雪夫近似更准确。

这个问题已经被覆盖前：How do Trigonometric functions work?

Answer 7

将以下代码添加到固定点应该很容易。它使用rational approximation来计算归一化到[0 1）区间的反正切（你可以乘以Pi/2得到真正的反正切）。然后，您可以使用well known identities从反正切中获取弧线/弧线。

normalized_atan(x) ~ (b x + x^2)/(1 + 2 b x + x^2) 

where b = 0.596227 

的最大误差是0.1620º

#include <stdint.h> 
#include <math.h> 

// Approximates atan(x) normalized to the [-1,1] range 
// with a maximum error of 0.1620 degrees. 

float norm_atan(float x) 
{ 
    static const uint32_t sign_mask = 0x80000000; 
    static const float b = 0.596227f; 

    // Extract the sign bit 
    uint32_t ux_s = sign_mask & (uint32_t &)x; 

    // Calculate the arctangent in the first quadrant 
    float bx_a = ::fabs(b * x); 
    float num = bx_a + x * x; 
    float atan_1q = num/(1.f + bx_a + num); 

    // Restore the sign bit 
    uint32_t atan_2q = ux_s | (uint32_t &)atan_1q; 
    return (float &)atan_2q; 
} 

// Approximates atan2(y, x) normalized to the [0,4) range 
// with a maximum error of 0.1620 degrees 

float norm_atan2(float y, float x) 
{ 
    static const uint32_t sign_mask = 0x80000000; 
    static const float b = 0.596227f; 

    // Extract the sign bits 
    uint32_t ux_s = sign_mask & (uint32_t &)x; 
    uint32_t uy_s = sign_mask & (uint32_t &)y; 

    // Determine the quadrant offset 
    float q = (float)((~ux_s & uy_s) >> 29 | ux_s >> 30); 

    // Calculate the arctangent in the first quadrant 
    float bxy_a = ::fabs(b * x * y); 
    float num = bxy_a + y * y; 
    float atan_1q = num/(x * x + bxy_a + num); 

    // Translate it to the proper quadrant 
    uint32_t uatan_2q = (ux_s^uy_s) | (uint32_t &)atan_1q; 
    return q + (float &)uatan_2q; 
} 

如果你需要更精确，有一个3阶有理函数：

normalized_atan(x) ~ (c x + x^2 + x^3)/(1 + (c + 1) x + (c + 1) x^2 + x^3) 

where c = (1 + sqrt(17))/8 

其中有0.00811最大逼近误差º

Answer 8

在此提交我的回答other similar question.

NVIDIA已经和我已经用我自己的用途，举几个例子一些重要的资源：acosasinatan2等等...

这些算法产生足够精确的结果。下面是他们的代码拷贝直线上升Python的例子在粘贴：

import math 
def nVidia_acos(x): 
    negate = float(x<0) 
    x=abs(x) 
    ret = -0.0187293 
    ret = ret * x 
    ret = ret + 0.0742610 
    ret = ret * x 
    ret = ret - 0.2121144 
    ret = ret * x 
    ret = ret + 1.5707288 
    ret = ret * math.sqrt(1.0-x) 
    ret = ret - 2 * negate * ret 
    return negate * 3.14159265358979 + ret 

而且这里的结果进行比较：

nVidia_acos(0.5) result: 1.0471513828611643 
math.acos(0.5) result: 1.0471975511965976 

那是相当接近！乘以57.29577951即可获得度数的结果，这也是来自他们的“度数”公式。

Answer 9

只有连续函数可以用多项式近似。并且arcsin（x）在点x = 1.same arccos（x）中是不连续的。但是在这种情况下，范围减少到区间1，sqrt（1/2）可以避免这种情况。我们有arcsin（x）= pi/2-arccos（x），arccos（x）= pi/2-arcsin（x）。你可以使用matlab进行最小最大逼近。仅在范围[0，sqrt ）]（如果arcsin的请求角度大于sqrt（1/2）的值，则找到cos（x）。仅适用于x的反正切函数1.arctan（x）= pi/2-arctan（1/x）。