抛物线曲线和线段的交点

Question

我有一个抛物线曲线与指定点相交的方程，在我的情况下，用户点击一个图形。

// this would typically be mouse coords on the graph 
var _target:Point = new Point(100, 50); 

public static function plot(x:Number, target:Point):Number{ 
    return (x * x)/target.x * (target.y/target.x); 
} 

这给出了一个图形像这样：

我也有一个系列的开始和结束定义线段的坐标：

startX:Number, startY:Number, endX:Number, endY:Number 

我需要找到如果和这条曲线相交这些段（A）：

如果它的任何帮助，startX总是< endX

我感觉有一个相当简单的方式来做到这一点，但我真的不知道该怎么寻找，我也不是非常好精通“正确的”数学，所以真正的代码示例将非常值得赞赏。

UPDATE：

我有交集的工作，但我的解决方案给我的坐标y轴的反面。

更换我分别用A和B的目标COORDS，给出了这个方程的情节：

(x * x)/A * (B/A) 

// this simplifies down to: 
(B * x * x)/(A * A) 

// which i am the equating to the line's equation 
(B * x * x)/(A * A) = m * x + b 

// i run this through wolfram alpha (because i have no idea what i'm doing) and get: 
(A * A * m - A * Math.sqrt(A * A * m * m + 4 * b * B))/(2 * B) 

这是一个正确的答案，但我想第二个可能的变化。 我已经设法通过在计算之前将m与-1相乘并且对最后一次计算返回的x值进行相同的操作来纠正此问题，但那感觉像是一种黑客攻击。

SOLUTION：

public static function intersectsSegment(targetX:Number, targetY:Number, startX:Number, startY:Number, endX:Number, endY:Number):Point { 
    // slope of the line 
    var m:Number = (endY - startY)/(endX - startX); 

    // where the line intersects the y-axis 
    var b:Number = startY - startX * m; 

    // solve the two variatons of the equation, we may need both 
    var ix1:Number = solve(targetX, targetY, m, b); 
    var ix2:Number = solveInverse(targetX, targetY, m, b); 

    var intersection1:Point; 
    var intersection2:Point; 

    // if the intersection is outside the line segment startX/endX it's discarded 
    if (ix1 > startX && ix1 < endX) intersection1 = new Point(ix1, plot(ix1, targetX, targetY)); 
    if (ix2 > startX && ix2 < endX) intersection2 = new Point(ix2, plot(ix2, targetX, targetY)); 

    // somewhat fiddly code to return the smallest set intersection 
    if (intersection1 && intersection2) { 
    // return the intersection with the smaller x value 
    return intersection1.x < intersection2.x ? intersection1 : intersection2; 
    } else if (intersection1) { 
    return intersection1; 
    } 

    // this effectively means that we return intersection2 or if that's unset, null 
    return intersection2; 
} 

private static function solve(A:Number, B:Number, m:Number, b:Number):Number { 
    return (m + Math.sqrt(4 * (B/(A * A)) * b + m * m))/(2 * (B/(A * A))); 
} 

private static function solveInverse(A:Number, B:Number, m:Number, b:Number):Number { 
    return (m - Math.sqrt(4 * (B/(A * A)) * b + m * m))/(2 * (B/(A * A))); 
} 

public static function plot(x:Number, targetX:Number, targetY:Number):Number{ 
    return (targetY * x * x)/(targetX * targetX); 
} 

Answer 1

或者，更明确了。

如果你的抛物线是 y(x)= A x2+ B x + C (Eq 1)

和您的线路是 y(x) = m x + b (Eq 2)

两个可能的解决方案（+和 - ）为X的

x = ((-B + m +- Sqrt[4 A b + B^2 - 4 A C - 2 B m + m^2])/(2 A)) (Eq 3) 

你应该检查你的段端点（在x中）包含这两点中的任何一点。如果他们这样做，只需更换相应的X在y = mx + b中方程得到y坐标相交

编辑>

为了得到最后的等式，你刚才说的“Y”在等式1中等于等式2中的“y”（因为你正在寻找一个交点！）。 这就给了你：

A x2+ B x + C = m x + b


和重组

A x2+ (B-m) x + (C-b) = 0

这是一元二次方程。

等式3只是这个二次方程的两个可能的解。

编辑2>

重新阅读你的代码，似乎你的抛物线是由 y(x) = A x2


其中
A = (target.y/(target.x)2)

所以你的情况公式3变为简单

定义

x = ((m +- Sqrt[4 A b + m^2])/(2 A)) (Eq 3b) 

HTH！

Answer 2

换句话说，你需要calulate公式为每个线段y = Ax + B把它比作曲线方程y = Cx^2 + Dx + E所以Ax + B - Cx^2 - Dx - E = 0，看看是否有startX和endX值之间的解决方案。

Answer 3

取曲线的方程，并将你的直线放入y = mx + b形式。求解x，然后确定X是否在你的线段开始和结束点之间。

结账：http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.03/senthil1.html

Answer 4

你是否经常这样做，以至于在实际计算交叉点之前需要单独测试以查看交叉点是否存在？如果是这样，考虑一个事实，即抛物线是为函数f（x，y）= y - （B * x * x）/（A * A）设定的一个水平 - 具体地说，就是f（x， y）= 0.将两个端点插入f（x，y） - 如果它们具有相同的符号，则它们位于抛物线的同一侧，而如果它们具有不同的符号，则它们位于抛物线。

现在，您仍然可能会有一段与抛物线相交两次，并且此测试未捕获该段。但是，有关您定义问题的方式会让我觉得这对您的应用程序可能没有问题。