TULIP以更简单的形式在二维算法中进行三角测量

Question

我发现了一种在二维this链接中执行三边测量的算法。但公式太复杂了。这里发生了什么？请你把它分解成像点的产品,交叉产品,的距离等？

Answer 1

让P成为未知点。 （粗体为2D矢量。）

收件圆圈1和2的隐方程：

（P - P1）2 =d1²

（P - P2） ²=d2²

Subwise memberwise and rearrange：

2。 （P2 - P1）。 P =d1² - d2²+ P2² - P1²

用圆圈1和3

类似地：

2.（P3 - P1）。 P =d1² - d3²+ P3² - P1²

仔细观察，你会发现，这形成了两个线性方程的系统中两个未知数：

2.（X2 - X1 ）.X + 2（Y2 - Y1）.Y =d1² - d2²+ P2² - P1²

2.（X3 - X1）.X + 2（Y3 - Y1）.Y =d1² - d3²+ P3² - P1²

使用克拉默的规则，或者如果你坚持使用向量微积分，如下工作。

重写系统为：

A.P =一个

B.P = B

计算矢量垂直于甲和乙在xy平面中，使用叉积A ' = 甲/\ 1Z和B' = 乙/\ 1Z和快速P作为这些的线性组合：

P = u。 A' + v。 B”

执行点积与简化后甲和乙给出，：

A.P = A =诉A.B'

B.P = b = u。 B.A '

注意A·B' = A.（乙/\ 1Z）= 1Z。（A/\ B）= - 1z。（乙/\ 甲）= - B.（甲/\ 1Z）= - B.A”（混合产物）。

总而言之：

P = [（ - B 甲 +一个乙）/ \ 1Z]/[1Z。（一个/\ 乙）

（这是克莱姆结果的重写。）