在MATLAB中布朗运动增量的方差

Question

我在MATLAB中模拟布朗运动，但是我得到一个奇怪的结果，布朗运动增量的方差随着时间的增长而增长，当它保持不变时。例如我构建布朗运动系统，

brown_drift = @(t,X) 0; 
brown_vol = @(t,X) .2; 
brown_sys = bm(brown_drift, brown_vol); 

然后我插1000次试验与时间步1和长度为10

inter_brown = interpolate(brown_sys, 0:1:10, zeros(1,1,1000),'Times',[0]); 
inter_brown = squeeze(inter_brown); 

一个布朗运动的增量，所以如果我构建矩阵应该是独立的的增量和方差，他们应该都是相同的，并等于波动率参数的平方。

inc = inter_brown(2:end,:)-inter_brown(1:end-1,:); 
var(inc') 
ans = 0.0374 0.1184 0.2071 0.2736 0.3516 0.4190 0.5511 0.5891 0.6767 0.7647 

但是，它显然不能满足简单的理论，每个增量的方差应该是0.2^2。看起来每个增量在未来增加2 * 0.2^2增量的方差。当布朗运动似乎满足其他理论时，我似乎无法弄清楚为什么会发生这种情况。在给定时间运动的方差。有什么明显的我在这里失踪？

Answer 1

有三件事情我会做出不同：

1）选择你的你的布朗路径更小的时间步长。您可以模拟一条路径中更多的步骤，从而更准确地计算每条路径中增量的计算方差（请参阅var(var(inc))）。这意味着对于每条路径，您将得到更多类似结果的增量差异。

2）同样增量的变化是不同的比例，如果你的时间大于1（见Volatility over time），所以你会根据您的初始时间尺度得到不同的结果。即

interpolate(brown_sys, 0:0.1:10, zeros(1,1,1000),'Times',[0]); 

将导致约0.4和

interpolate(brown_sys, 0:0.1:100, zeros(1,1,1000),'Times',[0]); 

方差将导致4方差所以只是时间更改为：

interpolate(brown_sys, 0:dt:1, zeros(1,1,1000),'Times',[0]); 

在哪里，你应该选择dt非常小，即dt = 0.001;

3）你应该考虑inc的方差而不是转置的方差。因为您获得的矩阵inter_brown在每列上都有模拟路径。所以属于一条路径的步骤应该在一列中。因此，您计算的矩阵inc包含根据列中一个路径的增量。矩阵的var()计算一列中存储的样本的方差。所以如果你想知道你的第一条路径增量的变化，你将不得不打电话：var(inc(:,1))。调用var(inc)会为您提供每个路径的方差。你可以用plot(var(inc))来绘制它们。如您所料，您将会看到增量的差异大约为0.04。用mean(var(inc))检查。