本征态在python中具有特定的特征值

Question

我有一个非常大的矩阵，但我只想找到具有一个特定特征值的特征向量（大于1）。如何在不解决python中这个矩阵的整个特征值和特征向量的情况下得到这个结果？

Answer 1

一个选项可能可能是使用shift-invert方法。在SciPy的方法eigs具有sigma使用其中能够接近指定值，该要搜索的特征值的可选参数：

import numpy as np 
from scipy.sparse.linalg import eigs 

np.random.seed(42) 

N = 10 
A = np.random.random_sample((N, N)) 
A += A.T 
A += N*np.identity(N) 

#get N//2 largest eigenvalues 
l,_ = eigs(A, N//2) 
print(l) 

#get 2 eigenvalues closest in magnitude to 12 
l,_ = eigs(A, 2, sigma = 12) 
print(l) 

这产生：

[ 19.52479260+0.j 12.28842653+0.j 11.43948696+0.j 10.89132148+0.j 
    10.79397596+0.j] 
[ 12.28842653+0.j 11.43948696+0.j] 

编辑： 万一你事先知道特征值，那么你可以尝试计算相应的基础。例如：

import numpy as np 
from numpy.linalg import eig, svd, norm 
from scipy.sparse.linalg import eigs 
from scipy.linalg import orth 

def nullspace(A, atol=1e-13, rtol=0): 
    A = np.atleast_2d(A) 
    u, s, vh = svd(A) 
    tol = max(atol, rtol * s[0]) 
    nnz = (s >= tol).sum() 
    ns = vh[nnz:].conj().T 
    return ns 

np.random.seed(42) 

eigen_values = [1,2,3,3,4,5] 
N = len(eigen_values) 

D = np.matrix(np.diag(eigen_values)) 

#generate random unitary matrix 
U = np.matrix(orth(np.random.random_sample((N, N)))) 

#construct test matrix - it has the same eigenvalues as D 
A = U.T * D * U 

#get eigenvectors corresponding to eigenvalue 3 
Omega = nullspace(A - np.eye(N)*3) 
_,M = Omega.shape 

for i in range(0, M): 
    v = Omega[:,i] 
    print(i, norm(A*v - 3*v))