两个欧拉角或四元数之间的角度，万向锁

Question

我有惯性测量单位传感器，可以输出四元数或欧拉角数据。作为一名生物机械师，欧拉角对我来说更有意义，但我也对四元数有所了解，但我从未真正研究它们。我确实有一个数学背景，所以我并没有完全迷失，并且我明白欧拉角中的Gimbal锁定效应。

我在计算两个矢量之间的角度，无论它们是四元数还是欧拉角，特别是在人体上。 我基本上想要找到旋转轴并计算三个基本组件（x,y,z）中的角度差异，并且看起来人们不可能扭曲身体并达到Gimbal-lock 。

我读过this paper，它好像你选择接近旋转的方式（x->y->z让你在相同的点x->z->y但在角度方面不同的路径采取的）就是万向锁进场时，但提议的XZ'Y'序列似乎完全避免了Gimbal-lock。

我读过四元数对于计算机来说更容易计算哪个是我想要继续使用四元数的地方，因为我使用的是Pi，但是我不完全理解如何从四元数到你的基本的x，y，z分量。所以我想我的问题是：

1. 四元数是人类运动所必需的吗？
2. 会保留四元数，直到最终角度计算并在最后一步转换为欧拉角避免Gimbal锁？

Answer 1

基本上，你有两个主要的选择，例如：与骨架。

• 使用4×4矩阵（其允许旋转和平移）
• 使用（单位）四元数为平移旋转和偏移。

如果你看一个函数的典型实现，它带有2个向量并且返回一个四元数，给它们之间的旋转，你会发现它不仅仅是一个简单的公式。边缘病例正在被识别和照顾。

let rotFromVectors (v1 : vec3) (v2 : vec3) : quat = 
    let PI = System.Math.PI 
    let PI_BY_TWO = PI/2.0 
    let TWO_PI = 2.0 * PI 
    let ZERO_ROTATION = quat(0.0f,0.0f,0.0f,1.0f) 
    let aabb = sqrt (float (vec3.dot(v1, v1)) * float (vec3.dot(v2,v2))) 
    if aabb <> 0.0 
    then 
     let ab = float (vec3.dot(v1,v2))/aabb 
     let c = 
      vec3 
       (float32 ((float v1.y * float v2.z - float v1.z * float v2.y)/aabb) 
       , float32 ((float v1.z * float v2.x - float v1.x * float v2.z)/aabb) 
       , float32 ((float v1.x * float v2.y - float v1.y * float v2.x)/aabb) 
       ) 
     let cc = float (vec3.dot(c, c)) 
     if cc <> 0.0 
     then 
      let s = 
       match ab > -sin (PI_BY_TWO) with //0.707107f 
       | true -> 1.0 + ab 
       | false -> cc/(1.0 + sqrt (1.0-cc)) 
      let m = sqrt (cc + s * s) 
      quat(float32 (float c.x/m), float32 (float c.y/m), float32 (float c.z/m), float32(s/m)) 
     else 
      if ab > 0.0 
      then 
       ZERO_ROTATION 
      else 
       let m = sqrt (v1.x * v1.x + v1.y * v1.y) 
       if(m <> 0.0f) 
       then 
        quat(v1.y/m, (-v1.x)/m, 0.0f, 0.0f) 
       else 
        quat(1.0f,0.0f,0.0f,0.0f) 
    else 
     ZERO_ROTATION 

哪里quat为四元数和vec3在上面的代码中的三维矢量的类型的类型。

由四元数旋转向量的代码只是那样简单数学提示：

let rotateVector (alpha : quat) (v:vec3) : vec3 = 
    let s = vec3.length v 
    quat.inverse alpha * (vecToPureQuat v) * alpha |> pureQuatToVec |> fun v' -> v' * s 

和最后并非最不重要之间的转换功能（有些...欧拉角 - 实际上有24欧拉角的不同版本，12个固定角度旋转和12个连续旋转）使用半角方法。

let eulerToRot (v:vec3) : quat = 
    let d = 0.5F 
    let t0 = cos (v.z * d) 
    let t1 = sin (v.z * d) 
    let t2 = cos (v.y * d) 
    let t3 = sin (v.y * d) 
    let t4 = cos (v.x * d) 
    let t5 = sin (v.x * d) 
    quat 
     ( t0 * t3 * t4 - t1 * t2 * t5 
     , t0 * t2 * t5 + t1 * t3 * t4 
     , t1 * t2 * t4 - t0 * t3 * t5 
     , t0 * t2 * t4 + t1 * t3 * t5 
     ) 
    |> quat.normalize 

let rotToEuler (q:quat) : vec3 = 
    let ysqr = q.y * q.y 
    // roll (x-axis rotation) 
    let t0 = +2.0f * (q.w * q.x + q.y * q.z) 
    let t1 = +1.0f - 2.0f * (q.x * q.x + ysqr) 
    let roll = atan2 t0 t1 

    // pitch (y-axis rotation) 
    let t2 = 
     let t2' = +2.0f * (q.w * q.y - q.z * q.x) 
     match t2' with 
     | _ when t2' > 1.0f -> 1.0f 
     | _ when t2' < -1.0f -> -1.0f 
     | _ -> t2' 
    let pitch = asin t2 

    // yaw (z-axis rotation) 
    let t3 = +2.0f * (q.w * q.z + q.x *q.y) 
    let t4 = +1.0f - 2.0f * (ysqr + q.z * q.z) 
    let yaw = atan2 t3 t4 
    vec3(roll,pitch,yaw) 

最后的绝招知道的是，这把载体导入（纯）四元数就派上用场了rotateVector功能。

let vecToPureQuat (v:vec3) : quat = 
    quat(v.x,v.y,v.z,0.0f) 

let pureQuatToVec (q:quat) : vec3 = 
    vec3(q.x,q.y,q.z) 

所以，要回答你的主要问题：是否需要四元数？不，你可以使用4x4矩阵。

而且你可以从一个到另一个如果认为您有用：

let offsetAndRotToMat (offset:vec3) (q:quat) : mat4 = 
     let ux = v3 1 0 0 
     let uy = v3 0 1 0 
     let uz = v3 0 0 1 
     let rx = rotateVector q ux 
     let ry = rotateVector q uy 
     let rz = rotateVector q uz 
     mat4 
      (
       rx.x, rx.y, rx.z, 0.0f, 
       ry.x, ry.y, ry.z, 0.0f, 
       rz.x, rz.y, rz.z, 0.0f, 
       offset.x,offset.y,offset.z,1.0f 
      )