SAGE中的椭圆点

Question

我想使用SAGE找到同余子群$ \ Gamma（N）$，$ \ Gamma_1（N）$的椭圆点。我知道MAGMA（EllipticPoints（G））有简单的功能，但在SAGE中找不到类似的东西。有什么建议么？

Answer 1

Sage具有功能Gamma,Gamma0,Gamma1来定义模块组的同余子组。

给定这样的组，方法nu2和nu3给出了该组的第2阶和第3阶的椭圆点的数量。

sage: G = Gamma0(13) 
sage: G.nu2() 
2 
sage: G.nu3() 
2 

方法ncusps，index，genus给尖， 索引，同余组的属的数量。

sage: G.ncusps() 
2 
sage: G.index() 
14 
sage: G.genus() 
0 

你指的是微捷码文档可能是这样的： https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1554。

在这种情况下，您需要 上半平面中的实际椭圆点。这是获取它们的一种方法。

定义函数elliptic_points，如下所示。

def elliptic_points(G): 
    F = FareySymbol(G) 
    P = F.pairings() 
    if all(n > 0 for n in P): 
     return [] 
    M = F.pairing_matrices() 
    ell = [] 
    for k, n in enumerate(P): 
     if n < 0: 
      a, b, c, d = list(M[k]) 
      R.<x> = QQbar[] 
      p = c*x^2 + (d-a)*x - b 
      for r in p.roots(multiplicities=False): 
       if r.imag() > 0: 
        ell.append(r) 
    return ell 

然后以下工作：

sage: G = Gamma0(13) 
sage: ell = elliptic_points(G) 

sage: ell 
[0.2692307692307693? + 0.06661733875264913?*I, 
0.3846153846153846? + 0.07692307692307692?*I, 
0.6153846153846154? + 0.07692307692307692?*I, 
0.7307692307692308? + 0.06661733875264913?*I] 

sage: for p in ell: 
....: print p.radical_expression() 
....: 
1/26*I*sqrt(3) + 7/26 
1/13*I + 5/13 
1/13*I + 8/13 
1/26*I*sqrt(3) + 19/26 

我找不到在现有的贤者代码此功能。 可能值得添加它。