d²x/dt² + a·dx/dt + 7.9·x³ = 3.2·sin(xt)
初始条件
x(0) = +1.2
dx/dt(0) = −3.3
x(2.3) = −0.6
查找数值的a
所有可能的值,每个值精确到至少3个显著数字。
除了蛮力还有解决这个问题的方法吗?
d²x/dt² + a·dx/dt + 7.9·x³ = 3.2·sin(xt)
初始条件
x(0) = +1.2
dx/dt(0) = −3.3
x(2.3) = −0.6
查找数值的a
所有可能的值,每个值精确到至少3个显著数字。
除了蛮力还有解决这个问题的方法吗?
据我所知,这是不可能解决这个问题,如上所述。
这是我做的。我实现您的问题在一个合理的一般方式:
%{
Find all 'a' for which
d²x/dt² + a·dx/dt + 7.9·x³ - 3.2·sin(xt) = 0
with initial conditions
x(0) = +1.2
dx/dt(0) = −3.3
x(2.3) = −0.6
%}
function odetest
% See how the function search_a(a) behaves around a = 0:
test_as = 0 : 0.1 : 10;
da = zeros(size(test_as));
for ii = 1:numel(test_as)
da(ii) = search_a(test_as(ii)); end
figure(100), clf, hold on
plot(test_as, da)
axis tight
xlabel('a')
ylabel('|x(2.3) - 0.6|')
% Roughly cherry-pick some positive values, improve the estimate, and
% plot the solutions
opt = optimset('tolfun',1e-14, 'tolx',1e-12);
plot_x(fminsearch(@search_a, 0.0, opt), 1)
plot_x(fminsearch(@search_a, 1.4, opt), 2)
plot_x(fminsearch(@search_a, 3.2, opt), 3)
% Plot single solution
function plot_x(a,N)
[xt, t] = solve_ode(a);
figure(N), clf, hold on
plot(t,xt)
plot(2.3, -0.6, 'rx', 'markersize', 20)
title (['x(t) for a = ' num2str(a)])
xlabel('t')
ylabel('x(t)')
end
end
% Solve the problem for a value a, and return the difference between the
% actual value and desired value (-0.6)
function da = search_a(a)
a_desired = -0.6;
xt = solve_ode(a);
da = abs(xt(end) - a_desired);
end
% Solve the problem for any given value of a
function [xt, t] = solve_ode(a)
y0 = [1.2 -3.3];
tfinal = 2.3;
opt = odeset('AbsTol',1e-12, 'RelTol',1e-6);
[t,yt] = ode45(@(y,t) odefun(y,t,a), [0 tfinal], y0, opt);
xt = yt(:,1); % transform back to x(t)
end
% Most ODE solvers solve first-order systems. This is not a problem for a
% second-order system, because if we make the transformation
%
% y(t) = [ x (t)
% x'(t) ]
%
% Then we can solve for
%
% y'(t) = [ x' (t)
% x''(t) ] <- the second-order homogeneous DE
%
function dydt = odefun(t,y,a)
dydt = [y(2)
-a*y(2) - 7.9*y(1)^3 + 3.2*sin(y(1)*t)];
end
,第一部分给了我这个人物:
一些进一步的调查表明,这仅增长较大a
。
这个数字引起了最初的估计a = [0, 1.4, 3.2]
,我通过fminsearch()
改善,绘制的解决方案:
所以,这可能使你在交功课: )
但是,为什么我说这是不可能回答这个问题,因为这是第一个情节看起来像负a
:
的振荡行为似乎无限期地持续下去,并在零点之间的间距似乎在不可预测的方式来减少。
现在,我的大学日子已经很长时间了,我对ODE理论不再那么了解了。也许有是一个模式,它只是不显示,因为数值问题。或者也许振荡在一些值之后停止,永不再返回。或者在a = +1053462664212.25
可能会出现另一个零。
我无法证明任何这些东西,我只知道如何蛮力;其余的由你决定。
在图中它应该是“| x(2.3)+ 0.6 |'”或者''| x(2.3) - (-0.6)|''。 – LutzL
是啊!我最终也做了同样的事情,我测试了它-6,振荡继续发生。虽然这不是一个家庭作业:) –
如果你想解决这个问题,Matlab有一个[ode求解](https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode45.html?requestedDomain=www.mathworks.com),或者你是问学问? – code11
所以我的意思是使用Matlab进行数值计算,我知道ode45,但是我应该采用a的所有可能值并找到x(0),然后以y = -0.6作为交点。或者,还有其他解决方案吗? –
Matlab似乎也有一个[符号微分方程](https://www.mathworks.com/help/symbolic/dsolve.html)求解器,它应该做你想做的。大约三分之一的方法是一个例子,他们展示了解决方案(对于一个常量)一个二阶方程,就像你提供的方程。 – code11