偏微分方程

Question

让我们定义函数x(t)，其时间导数xdot(t)，和表达T是依赖于它们：

syms t x(t) 
xdot(t) = diff(x,t); 
T = (xdot + x)^2; 

我们都同意的T相对于该偏导数x是∂T/∂x = 2*(xdot+x)。但是，如果我这样做在Matlab我得到错误的答案：

dT_dx = subs(diff(subs(T,x,'x'), 'x'), 'x', x); 
>> dT_dx = 2 x(t) 

注意，它返回∂T/∂xdot正确答案：

dT_dxdot = subs(diff(subs(T,xdot,'x1'), 'x1'), 'x1', xdot); 
>> dT_dxdot = 2*x(t) + 2*diff(x(t), t) 

它看起来像Matlab忽略了产品2*x*xdot，在计算导时低阶变量的条款（x），但在计算高阶变量（xdot）的导数时，它不会忽略此产品。如果我们重新定义了表达T为T = (100 + x)^2，我们会得到∂T/∂x：

>> ans = 2 x(t) + 200 

因此，在已经换xdot以恒定的，我们现在得到正确的答案。

评论：

• 我在为了使用diff功能，因为 diff(T,x)返回错误利用双取代。我发现这种方法 here。
• 在计算导数之前扩大表达式T不起作用 - 我们仍然得到不正确的答案。
• 我也尝试了functionalDerivative函数，但它也返回了不正确的 答案。

问题

如何才能可靠地计算的T局部的和绝对的衍生物，尤其是∂T/∂x？

是subs(diff(subs() ))一个很好的方法，还是有更好的方法，如果是的话，它是什么？

Answer 1

正如你已经注意到了，走一个抽象symfun像x(t)的导数是不一样的服用衍生物的符号变量像x（假设x(t)尚未在范围内已申报） - 见my answer here为更多。一个人需要非常小心地代替，就像你在做什么一样。由于x(t)取代diff(x,t)（xdot(t)）中的'x'也被取代，即您的代码中的第一个替换subs(T,x,'x')已经返回相对于您所期望的结果的错误结果。

你可以试试这个：

syms x(t) 
xdot(t) = diff(x,t); 
T = (xdot + x)^2; 
x1 = {x,xdot}; 
x2 = {'x','xdot'}; 
dT_dx = subs(diff(subs(T,x1,x2),'x'),x2,x1) 

返回2*x(t) + 2*diff(x(t), t)。