三角形内的最大曲面

我在准备比赛时遇到以下有趣问题。三角形内的最大曲面

你有一个长度为a, b, c和长度为L的绳子的三角形。你需要找到最大表面积的绳索所包围的表面，并且它必须完全位于三角形内部。

所以，如果L = a + b + c，那么它是三角形的面积。

否则，我们知道，圆具有最大的表面，以周边区域，因此，如果L是小于或等于该三角形的内切圆的周长，那么区域将是周长L.的圆的区域

因此，其余案例是alfa < L < a + b + c，其中alfa是内切圆的周长。

任何想法都会很棒！

EDIT：我想知道我是否应该专注于某种算法解决这个或试图弄明白数学公式。比赛包含两种组合。边缘可以长达100，精确度为a,b,c,L，小数点后4位。

来源

2013-04-23 coredump

我会说你确实有三个剩余的情况下，其中，所述内切圆为界/切断由三角形的一边，两边或三边（但L仍小于三角形的边界）。 – iamnotmaynard 2013-04-23 14:39:04

我认为你不能割绳子（做第二个圆圈）？ – 2013-04-23 15:13:58

@TonyMorris我在想，如果L大于内切圆的周长，那么我们可以取这个长度，然后在剩余的间隙中创建更小的圆，但我不确定这是否是最优的。 – coredump 2013-04-23 15:23:47

..answering我自己的意见/问题，可以证明的是，半径必须相等，

这里是一个有用的公式：

enter image description here

灰色区域A是

A = r^2 (alpha - Pi + 2/tan(alpha/2)) /2

但更useful..the弧长很简单：

s = 2 (b - A/r)

从这里是简单的显示了三个半径必须等于对方：

写绳子长度和封闭区域：

ropelength = trianglelength - 2 Sum[r[i] a[i] ] 
ropearea = trianglearea - Sum[r[i]^2 a[i] /2 ]

其中

a[i]=(alpha[i] - Pi + 2/tan(alpha[i]/2))

位操作格言的后区域化导致所有r [i]相等。注意三个a [i]，绳长，trainglearea，三角形长度都是你不需要计算的常数。迂腐解决r[l] = f(constants, r[2],r[3])子到第二表达并求解
d ropearea /d r[2] = 0和d /d r[3] = 0其结果：

r =(1/2) (triangle_length - rope_length) /(Sum(1/tan(alpha[i]/2)) - Pi)

（为一个[I]的凌乱表达仅在最后一步取代）最后..

ropearea = trianglearea - (trianglelength-ropelength)^2/(8 Sum[a[i]) 
    = trianglearea - (1/2)(trianglelength-ropelength) r

编辑 - 一个有用的身份..与a，b，c，边的长度。

Sum(1/tan(alpha[i]/2)) = Sqrt(S^3/((S-a)(S-b)(S-c))) 
S = 1/2 (a+b+c) ! S is semiperimeter not to be confused with arc length s

以上表达式然后可以用来重现该公式的内切圆，

rinscribed = Sqrt(((S-a)(S-b)(S-c))/S)

来源

2013-04-24 16:15:02 agentp

我会尽快得到一些测试用例。我必须先尝试才能接受答案。 – coredump 2013-04-24 21:28:56

我已经写了一个python解决方案来实现我的答案，它**不会在所有角落收敛相同的半径，但我在这里错过了有关您的答案的内容。我必须仔细检查一下，看看我能否弄清楚我错过了什么。 – 2013-05-02 05:31:15

对不起，我不能跟着你（如果我错了，请纠正我）：绘图中四角的面积是矩形三角形面积的两倍，边长为b，r，alpha为二等分线，即A + S = 2 * 1/2 * b * R 2;所以A + s = b * r。进一步tan（alpha/2）= r/b。所以b = r/tan（alpha/2）。此外s = r^2 *（pi-alpha）。因此A = r^2 *（alpha-pi + 1/tan（alpha/2）），而不是A = r^2（alpha-Pi + 2/tan（alpha/2））/ 2，。 – 2013-05-03 06:32:17

由于一个圆的面积/周长最大，因此从inscribed circle开始。如果L小于该周长，则适当收缩。如果L较长，则增加3个弧中的最大值dA/dL。我不知道是否有封闭的形式，但最大的弧线将位于三角形的三边，而边线最接近平行。

这应该是微不足道的解决这个算法。用精度为4的小数点后，检查每个弧增加0.0001，看看哪个单位增量的dA/dL最大。

我动情几何过夜的图： Triangle with incircle 的内切圆构成平分由每个角度的并找到平分线的交叉点。我已经标记了半角“a1”（并且所有相关变量都有'1'）。非圆形部分的区域是两个梯形（一个用红色轮廓表示）。我们可以计算单梯形的面积为L1 *（m1 + R）/ 2（注意，当L1，L2，L3都为零时，这些梯形全部为零，我们只能得到内切圆区域）。圆帽的半径为m1，与三角形的边保持相切。对于给定的L1的选择，m1 = R（x1-L1）/ x1。

从这里您可以轻松计算出三个扇区中的每一个的周长和面积，并以数字方式求解。

我不能证明这是最大面积，只是这是如何计算这个建筑的面积和周长。

来源

2013-04-23 15:35:47

我想知道运行时间，但想法:) +1。 – coredump 2013-04-23 16:14:12

我的代表太低，无法为问题添加评论，但2个圈子不能最大化A/L。考虑两个圆圈 - 现在在两个圆圈之间绘制切线（所以你有一个胶囊类的东西）。保持切线但删除两个圆的弧线，并且增加了面积并减小了边界。 – 2013-04-23 16:14:27

我认为你走在正确的轨道上，但最终你会以一定比例增长三面。虽然推出的结果将是。 – agentp 2013-04-23 20:06:02

如果绳索的周长太小或太大，答案是微不足道的。有趣的情况是一个有6个顶点的形状变成了弧 - 弧 - 弧 - 弧 - 弧。弧线与相邻线条相切，半径相等。我没有一个严格的证明，但想象一个充满空气的二维气球，并挤压在三角形的边缘之间。

很容易表达整体形状，从而给出半径的周长;然后相反的方向（周长到半径）很容易找到数字。

来源

2013-04-23 16:45:43

我想这就是它..我不确定半径需要是相同的。如果指定具有3个半径（@每个角）的相切圆弧，将唯一确定长度和面积。在一堆未知的事件中触发了一个简单的优化问题。 – agentp 2013-04-23 20:19:30

阅读这个问题的答案后：https://math.stackexchange.com/questions/4808/why-circle-encloses-largest-area，我同意纳米，且认为最佳曲线验证：

曲率或者是恒定的，或平的，当它接触到三角形，这意味着它是由位于三角形侧的部分和圆弧，所有部分都具有相同的半径。
没有角度，这意味着弧线与三角形边相切。

在这些条件下，通过三个相同半径R的圆来获得解，每个圆都与三角形的两边相切（见下文）。当R在0和内切圆的半径之间变化时，我们从三角形本身开始，并结束到内切圆，所有三个圆重合。曲线的长度是半径R的圆的周长+较小三角形的周长（p）：L = 2 * Pi R + p。面积是较小三角形的面积（a）+半径R的一个圆盘+剩余矩形：A = Pi R^2 + p * R + a。

The described supposed solution

来源

2013-04-24 05:38:11

我们如何知道半径是相等的？这似乎是正确的，可能是，但你怎么证明它？ – agentp 2013-04-24 12:11:09

三角形内的最大曲面

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