从协方差矩阵中找出概率椭圆

Question

我试图对我们的数据进行反向工程，以显然应该是概率椭圆。作为一个输入，我得到一个包含神秘成员的结构，特别是meanX，meanY，Co00，Co01和Co10。我猜想x和y是椭圆的中心，CoXX是协方差矩阵。听起来像我应该使用特征值和特征向量来找出椭圆的两个半径。我找到了Eigen C++库，但是当我得到向量和值时，我很难弄清楚与Eigen计算结果有什么关系。我如何找到两个半径和椭圆倾斜？

Answer 1

设：

m = (meanX) 
    (meanY) 

是（载体）是指和：

S = (Co00 Co01) 
    (Co01 Co11) 

是数据的协方差矩阵。椭圆的中心是m，椭圆的轴是矩阵S的特征向量e1和e2（短轴e1与S的最小特征值相关联）。半径与sqrt(λ1)和sqrt(λ2)成正比，其中λ1和λ2是与e1和e2相关联的特征值。最后，椭圆的倾斜是atan2(e2_y, e2_x)（主轴与轴之间的角度）。

这一切都来自矩阵S对角化和扩大表达式(X - m)^T S^-1 (X - m) = 1以匹配预期的形式(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1。请注意，如果您正在查看特定的置信度，则应缩放半径，对于95％的置信度，缩放因子为sqrt(5.911)。

随着征，下面这段代码应工作：

#include <Eigen/Eigenvalues> 

// [...] 

Vector2d m; 
Matrix2d S; 

m << meanX, meanY; 
S << Co00, Co01, Co01, Co11; 

SelfAdjointEigenSolver<Matrix2d> solver(S); 
double l1 = solver.eigenvalues().x(); 
double l2 = solver.eigenvalues().y(); 
Vector2d e1 = solver.eigenvectors().col(0); 
Vector2d e2 = solver.eigenvectors().col(1); 

double scale95 = sqrt(5.991); 
double R1 = scale95 * sqrt(l1); 
double R2 = scale95 * sqrt(l2); 
double tilt = atan2(e2.y(), e2.x());