椭圆的协方差矩阵

Question

我一直在试图解决一个问题。我很惊讶，我一直无法找到网上真正有用的东西。

我知道从椭圆的协方差矩阵的特征值可以计算出椭圆的主轴和副轴。如下所示：

a1 = 2*sqrt(e1) 
a2 = 2*sqrt(e2) 

其中a1和a2是长轴和短轴，和e1是e2协方差矩阵的特征值。

我的问题是：给定边缘点(xi,yi)的图像椭圆，如何才能找到该椭圆的2×2协方差矩阵？

Answer 1

只是纯逆向工程（我不熟悉了用这种材料），我可以这样做：

%// Generate circle 
R = 189; 
t = linspace(0, 2*pi, 1000).'; 
x = R*cos(t); 
y = R*sin(t); 

%// Find the radius? 
[~,L] = eig(cov([x,y])); 

%// ...hmm, seems off by a factor of sqrt(2) 
2*sqrt(diag(L))   

%// so it would come out right when I'd include a factor of 1/2 in the sqrt(): 
2*sqrt(diag(L)/2)   

那么，让我们来测试这一理论对于一般的椭圆：

%// Random radii 
a1 = 1000*rand; 
a2 = 1000*rand; 

%// Random rotation matrix 
R = @(a)[ 
    +cos(a) +sin(a); 
    -sin(a) +cos(a)]; 

%// Generate pionts on the ellipse 
t = linspace(0, 2*pi, 1000).'; 
xy = [a1*cos(t) a2*sin(t);] * R(rand); 

%// Find the deviation from the known radii 
%// (taking care of that the ordering may be different) 
[~,L] = eig(cov(xy)); 
min(abs(1-bsxfun(@rdivide, 2*sqrt(diag(L)/2), [a1 a2; a2 a1])),[],2) 

它总是返回一些可接受的小东西。

所以，似乎工作:)任何人都可以验证这确实是正确的？

Answer 2

要扩展Rody的答案，实心椭圆的协方差矩阵的特征值由lambda_i = r_i^2/4给出。这导致OP的方程r_i = 2*sqrt(lambda_i)。

对于（非固体）椭圆形，如在OP的情况下，特征值是双那些固体箱子：lambda_i = r_i^2/2，导致r_i = sqrt(2*lambda_i)（其等于罗迪的2*sqrt(lambda_i/2)）。

我无法直接找到这个参考，但协方差矩阵的数学与惯性矩的数学是相同的。 On Wikipedia您可以看到“圆形箍”和“实心圆盘”的情况，它们的相同因子为2.

下面是Rody测试的一种改编，既可以处理固体也可以处理非固体情况：

% Radius to test with 
r = rand(1,2); 

% Random rotation matrix 
R = @(a)[+cos(a) +sin(a); 
     -sin(a) +cos(a)]; 

% Generate pionts on the ellipse 
N = 1000; 
t = linspace(0, 2*pi, N).'; 
xy = r.*[cos(t),sin(t)] * R(rand); 
% Compute radii, compare to known radii 
L = eig(cov(xy)); 
r_ = sqrt(2*L)'; 
err = max(abs(1 - sort(r_) ./ sort(r))) 

% Generate points in the ellipse (SOLID CASE) 
N = 10000; 
t = 2*pi * rand(N,1); 
xy = r .* sqrt(rand(N,1)) .* [cos(t),sin(t)] * R(rand); 
% Compute radii, compare to known radii 
L = eig(cov(xy)); 
r_ = 2*sqrt(L)'; 
err_solid = max(abs(1 - sort(r_) ./ sort(r))) 

如果你运行这段代码，你会看到1E-3的错误，并〜6E-3（对我产生更多的点，该地区需要进行采样密集够多点的实情况;点越多，误差越小）。